[python/파이썬] 백준 17626 Four Squares

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

예제 입력 1 복사

25

예제 출력 1 복사

1

예제 입력 2 복사

26

예제 출력 2 복사

2

예제 입력 3 복사

11339

예제 출력 3 복사

3

예제 입력 4 복사

34567

예제 출력 4 복사

4

 

 

[문제 풀이]

 

DP를 이용한 문제이다.

우선 n이 0일 때와 1일 때는 기본적으로 dp리스트에 저장해준다.

 

후에 dp[2]부터 dp[n]까지 값을 채우기 위해 for문을 돌린다.

 

while문의 경우

n은 4개 이하의 수의 제곱의 합으로 이뤄져 있기에

가장 작은 제곱수부터(1^2, 2^2, 3^2....: j = 1, 2, 3...) i에서 빼보며 그 남은 값에 대한 dp값이 가장 작은 경우를 찾는다.

 

예를 들어 n=12라고할 때 

 

dp = [0, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 2, 3] dp[11]까지의 값이 이렇게 채워져 있다면  (i=11까지 진행된 상태)

 

min_v = 1e9

 

j = 1 

dp[12 - 1^2] = dp[11] = 3

j = 2

dp[12 - 2^2] = dp[8] = 2

j=3

dp[12 - 3^2] = dp[3] = 3

j=4 

12 < 4^2 -> while문 종료

 

min_v = 2

따라서 dp[12] = 2 + 1 = 3

 

이전에 계산된 dp값을 통해 i번째의 dp값을 계산하는 과정이다.

어떤 n이라는 숫자는 결국엔 다른 제곱수들의 합에 또 다른 제곱수가 더해진 값이므로

이전에 계산된 dp값을 통해서 계산이 가능한 것이다.

 

그럼 이번에는 25와 같이 하나의 제곱수로 구성될 수 있는 경우는 어떻게 될지 살펴보겠다.

 

j = 5

dp[25 - 5^2] = dp[0] = 0

dp[25] = 0 + 1 = 1 

이 된다.

 

[소스 코드]

n = int(input())

dp = [0,1] #n이 0,1일 때 값

for i in range(2,n+1): # 2~n
    min_v = 1e9 #1e9 = 1*10^9 = 1000000000 충분히 큰 값
    
    j = 1
    while j**2 <= i:
        min_v = min(min_v, dp[i-j**2])
        j+=1
    dp.append(min_v+1)
print(dp[n])